Diagramma di Venn: che cos’è

Un concetto base per gli studenti dell’Università online Niccolò Cusano di Siracusa impegnati in un esame di matematica è quello del Diagramma di Venn e della rappresentazione grafica dei cosiddetti insiemi.

Il nostro scopo, con questa breve guida, è spiegare il Diagramma di Venn con definizioni chiare ed esempi pratici che ti mostreranno le applicazioni del diagramma.

Diagramma di Venn: definizione

Che cos’è il Diagramma di Venn? Il Diagramma di Venn, detto anche diagramma di Eulero Venn, è un tipo di rappresentazione grafica degli insiemi secondo la quale gli insiemi vengono rappresentati appunto come figure delimitate da una linea curva. Gli elementi di un insieme vengono trascritti al suo interno.

Si fa ricorso al Diagramma di Venn in tutti i casi in cui è necessario ragionare sui problemi di insiemistica.

Disegnare un insieme è una delle prime nozioni di matematica che ci vengono insegnate alla scuola primaria.

Vediamo quindi che cos’è un Diagramma di Venn e nello specifico come si disegna un insieme.

Gli insiemi: cosa sono e come si rappresentano graficamente

Prima di vedere come si rappresenta graficamente un insieme attraverso il Diagramma di Venn, partiamo proprio dal significato di insieme.

In matematica un insieme è un raggruppamento di elementi di vario tipo (numerico, logico, concettuale) che possono avere una caratteristica comune tra loro o appartenere a quell’insieme per semplice elencazione.

Nel linguaggio comune gli insiemi indicano quindi gruppi/raccolte di elementi.

Questi elementi possono essere qualsiasi cosa ci venga in mente, come città, numeri, animali.

Secondo l’ottica matematica, invece, un insieme è sempre un raggruppamento di elementi, ma c’è sempre anche la possibilità di decidere se un elemento ne faccia parte o meno in quanto esiste un criterio univoco che determina gli elementi stessi.

Facciamo un esempio: i numeri da 1 a 10 sono elementi univocamente determinati e quindi possono appartenere effettivamente ad un insieme matematico.

Pensare ad un insieme matematico di “Canzoni belle” non è corretto, perché non esiste alcun criterio che ne determini la bellezza in maniera univoca.

Come si scrivono gli insiemi matematici

Gli insiemi matematici sono indicati con le lettere maiuscole A, B, C, D….Z mentre gli elementi interni agli insiemi sono indicati con le lettere minuscole a, b, c, d…z.

Per scrivere che un elemento a appartiene all’insieme A useremo la formula

a ∈ A

Invece, per scrivere che un elemento a non appartiene all’insieme A useremo la formula

a ∉ A

Hai appena visto due esempi di Diagramma di Venn.

Insiemi finiti e insiemi infiniti

Esistono due tipologie di insiemi:

1. finiti
2. infiniti

Un insieme finito si ha quando contiene un numero finito di elementi.

Si dice insieme infinito quando contiene infiniti elementi.

Facciamo un esempio di insieme finito:

Le lettere del nostro alfabeto sono finite, quindi l’insieme dell’alfabeto italiano è un insieme finito.

Adesso facciamo un esempio di insieme infinito:

Sappiamo che i numeri naturali sono infiniti, quindi anche i numeri dispari sono infiniti. Di conseguenza l’insieme dei numeri dispari è un insieme infinito.

Quando un insieme è composto da un solo elemento si dice insieme unitario.

Un esempio di insieme unitario è la parola “ciao”. L’insieme delle consonanti contenute nella parola Ciao è unitario, perchè la C è l’unica consonante.

Diagramma di Venn: applicazioni

Ora che abbiamo visto cosa sono gli insiemi matematici e come si suddividono gli insiemi, terminiamo la nostra guida con alcuni esempi di applicazione per capire come fare il Diagramma di Venn.

Abbiamo già detto all’inizio che graficamente un insieme con il Diagramma di Venn si rappresenta con una linea curva chiusa non intrecciata, quindi così:

Identifichiamo l’insieme con una lettera maiuscola, esempio A e mettiamo al suo interno elementi come le vocali dell’alfabeto italiano, quindi così:

 

In questo modo abbiamo rappresentato graficamente l’insieme finito delle vocali.

A volte, al posto della rappresentazione grafica per diagrammi di Eulero-Venn si utilizza per comodità la rappresentazione per elencazione che si ottiene scrivendo, all’interno di una coppia di parentesi graffe, uno alla volta tutti gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con delle virgole. In questo modo:

A = {a, e, i, o, u}

Ricordiamo inoltre che un elemento di un insieme va indicato una sola volta e che non c’è alcun ordine di importanza con cui indicare gli elementi appartenenti ad uno specifico insieme.

Pensiamo alla parola CASA.

Gli elementi dell’insieme saranno la vocale A usata una sola volta e le consonanti C ed S.

Visto? Capire come si applica il Diagramma di Venn non è difficilissimo. Per il momento ti abbiamo fornito un ripasso dei concetti base di questo argomento, ma siamo sicuri che ci sarà modo di approfondire con esempi ancora più complessi.

Nel frattempo, se sei iscritto ad uno dei nostri corsi di ingegneria e stai preparando l’esame di matematica, ma la stanchezza e la pressione iniziano a farsi sentire, potrebbe esserti utile scoprire come trovare la concentrazione nello studio.